modul styczny, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymałość ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
14.cd. Sprężysto – plastyczne wyboczenie (wersja 1 – kwiecień 03)
Sprężysto – plastyczne wyboczenie pręta
Teoria modułu zastępczego Engessera – Karmana
Wyboczenie pręta może nastąpić po przekroczeniu przez naprężenie
ściskające granicy proporcjonalności – R
H
. W tym zakresie pojawiają się
odkształcenia niesprężyste, a ich związki z naprężeniami tracą charakter
liniowy. Mamy więc do czynienia z wyboczeniem niesprężystym.
Rozważania nasze oprzemy na rzeczywistym wykresie zależności σ ε po
przekroczeniu R
H
(Rys. 14.6)
Rys.14.6
Obliczenie siły krytycznej polegać będzie, podobnie jak przy
wyboczeniu sprężystym, na poszukiwaniu takiej wartości siły P, przy której
możliwa jest równowaga pręta wygiętego.
Zakładamy, że przy σ > R
H
przekroje poprzeczne pozostają nadal
płaskie. Wykres jednostkowych odkształceń ε na wysokości przekroju jest
prostoliniowy (Rys. 14.7), a wykres naprężeń σ powstałych wskutek
wygięcia pręta składa się z dwóch różnie nachylonych odcinków prostych.
Po stronie wklęsłej pręta wygiętego (Rys. 14.7), nastąpi dalszy wzrost
naprężeń ściskających o ∆σ
2
(zgodnie z rys. 14.6). Zależność między
naprężeniami a odkształceniami dla tej części przekroju charakteryzuje na
wykresie σ - ε
krzywa
od punktu K. Krzywą tą dla niezbyt dużych
odkształceń możemy zastąpić prostą styczną do wykresu σ ε w punkcie K,
wprowadzając styczny (lokalny) moduł odkształcenia E
t
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
1/8
14.cd. Sprężysto – plastyczne wyboczenie (wersja 1 – kwiecień 03)
∆
2
=
E
.
(14.9)
t
∆
2
Po stronie wypukłej pręta nastąpi ubytek naprężeń ściskających o ∆σ
1
,
przy czym
∆
1
=
E
.
(14.10)
∆
1
Rys.14.6
Jeżeli po stronie wklęsłej pręta naprężenia wzrastają to po stronie wypukłej
muszą się zmniejszać. Stąd wynika, wypadkowa ∆N
α
powstała wskutek
wygięcia pręta musi być równa zero.
∆
N
=
∆
dA
−
∆
dA
=
0
.
(14.11)
∫
∫
α
1
1
2
2
A
A
2
Drugie równanie równowagi napiszemy, uwzględniając, że przyrost
momentu ∆M
α
elementarnych sił względem osi y (przechodzącej przez
środek ciężkości przekroju musi równoważyć moment zginający Pw (gdzie
w ugięcie pręta mierzone od jego osi geometrycznej)
∆
M
=
∆
(
z
+
e
)
dA
−
∆
(
z
−
e
)
dA
=
−
Pw
.
(14.12)
∫
∫
α
1
1
1
2
2
2
A
A
2
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
2/8
14.cd. Sprężysto – plastyczne wyboczenie (wersja 1 – kwiecień 03)
2
d
w
∆
∆
'
'
1
2
d
ϕ
=
≡
w
=
=
Wiemy, że
.
2
z
z
dx
1
2
Uwzględniając zależności (14.9) i (14.10) znajdujemy
'
'
'
'
.
∆
=
E
∆
=
Ez
w
∆
=
E
∆
=
E
z
w
,
(14.13)
1
1
1
2
2
t
1
Wobec czego równanie (14.11) przybiera postać
E
∆
dA
−
E
∆
dA
=
0
, czyli ES
1
– E
t
S
2
= 0
(14.14)
∫
∫
1
1
t
2
2
A
A
2
gdzie S
1
i S
2
momenty statyczne pola A
1
i A
2
względem osi obojętnej.
Równanie (14.12) przybiera postać
'
'
2
1
2
2
'
'
w
E
z
dA
+
E
z
dA
+
ew
E
z
dA
−
E
z
dA
=
−
Pw
=
−
Pw
∫
∫
∫
∫
1
t
2
1
1
t
2
2
A
A
A
A
2
2
czyli
'
'
'
'
w
(
EJ
+
E
J
)
+
ew
(
ES
−
ES
)
=
−
Pw
,
1
t
2
1
2
uwzględniając zależność (14.14) ostatecznie otrzymamy
'
'
=+
, (14.15)
gdzie J
1
i J
2
momenty bezwładności pola A
1
i A
2
względem osi obojętnej.
w
(
EJ
E
J
)
−
Pw
1
t
2
EJ
1
+
EJ
2
E
=
Oznaczając jako moduł zastępczy
(14.16)
J
gdzie J
y
= J – moment bezwładności całego przekroju względem osi środ. y.
Równanie osi odkształconej będzie przez analogię miało postać:
Pw
'
−=
. (14.17)
Równanie (14.17) różni się od analogicznego równania przy wyboczeniu
sprężystym tylko tym, że zamiast modułu E występuje tu moduł zastępczy.
Można zatem przez analogię do wyboczenia sprężystego napisać wzór na
siłę krytyczną i na naprężenie krytyczne
'
E
Jw
2
π
E
P
=
,
(14.18)
kr
2
w
L
2
π
E
R
=
.
(14.19)
kr
2
λ
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
3/8
14.cd. Sprężysto – plastyczne wyboczenie (wersja 1 – kwiecień 03)
Teoria modułu stycznego Engessera – Shanleya
Rozwiązanie Engessera z roku 1889 po poprawkach wprowadzonych
przez Karmana doczekało się nowej interpretacji przez Shanley’a w 1947r.
Rozumowanie Shanley’a było następujące: gdy siła osiągnie wartość
krytyczną P
kr
pręt straci równowagę prostoliniową lecz możliwa będzie
krzywoliniowa postać równowagi. Zwiększenie siły spowoduje, że w
żadnym punkcie nie będzie następować odciążenie. Dlatego związek między
przyrostami naprężeń a przyrostami odkształceń będzie określał wszędzie
moduł styczny w rezultacie czego otrzymamy:
2
π
E
J
t
k
t
P
=
siłę krytyczną
,
(14.20)
2
w
L
2
π
E
t
k
t
R
=
oraz naprężenie krytyczne
.
(14.21)
2
λ
W rozumowaniu Shanley’a zagadnienie wyznaczenia siły krytycznej
sprowadza się więc do określenia punktu bifurkacji, to jest momentu, w
którym następuje rozdwojenie równowagi. Przy P < P
kr
możliwa jest tylko
jedna prostoliniowa postać równowagi. Przy P > P
kr
możliwe są dwie
formy równowagi prostoliniowa lub krzywoliniowa, przy czym każdej
wartości siły P > P
kr
odpowiada ściśle określona forma krzywoliniowa.
Krzywe (naprężenie krytyczne – smukłość) wykreślone na podstawie
wzorów En – K podano na rys. 14.7.
Rys.
14.7
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
4/8
14.cd. Wzory empiryczne dla wyboczenie (wersja 1 – kwiecień 03)
Stosowanie do obliczeń technicznych przytoczonej powyżej teorii
wyboczenia sprężysto – plastycznego jest kłopotliwe. W obliczeniach
technicznych korzysta się najczęściej z nieskomplikowanych wzorów o
charakterze empirycznym.
Wzory empiryczne
Najdalej idącym uproszczeniem jest przybliżenie rzeczywistej krzywej na
naprężenia krytyczne powyżej granicy proporcjonalności prostą (wzór
Tetmajera – Jasinskiego).
R
k
=
a
−
b
λ
.
(14.22)
gdzie: a i b stałe wyznaczone doświadczalnie.
Znacznie lepszą aproksymację danych doświadczalnych daje funcja
podana przez Johnsona – Ostenfelda w postaci
2
R
=
A
−
B
λ
(14.23)
k
Na rys 14.8, z lewej strony, podano prostą T – J zaś z prawej strony
parabolę J – O.
Rys. 14.8
W tablicy 14.3 podano przykładowo wartości współczynników a, b, A, B dla
niektórych materiałów
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
5/8
[ Pobierz całość w formacie PDF ]