Modul 4. Logika, Logika.Andrzej Indrzejczak 2003
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Obecnie przechodzimy do
klasycznego rachunku kwantyfikatorów
(w skrócie KRK),
zwanego często po prostu logiką klasyczną. KRK jest logiką wystarczającą dla potrzeb
matematyki, chociaż nadal zbyt ograniczoną, aby pozwolić na analizę wielu rozumowań
w języku naturalnym. Mimo to zakres zastosowań KRK znacznie przewyższa możliwości
rachunku zdań omawianego w poprzednim module. Zademonstrujemy to na prostym przykładzie.
Rozumowanie:
Bambi jest słoniem. Wszystkie słonie mają wielkie uszy. Zatem, Bambi ma wielkie uszy.
jest poprawne. Jednak próba wykazania jego poprawności przy użyciu KRZ jest skazana na
niepowodzenie, gdyż nie występują tu w ogóle spójniki. Na gruncie KRZ schemat powyższego
rozumowania wygląda więc następująco:
p, q / r
Wystarczy użyć wartościowania V(p)=V(q)=1 i V(r)=0, aby taki schemat poddać falsyfikacji. Gdy
chcemy wykazać, że interesujące nas rozumowanie jest poprawne, musimy umieć poddać
analizie strukturę wewnętrzną jego zdań składowych, a to umożliwia dopiero KRK.
W sposobie prezentacji KRK będziemy się trzymać jak najbliżej tej formy, którą zastosowaliśmy
w odniesieniu do KRZ w poprzednim module. Przedstawimy w kolejnych tematach język,
semantykę i reguły dowodzenia. Krótko mówiąc, logika klasyczna zostanie tutaj przedstawiona
jako formalny rachunek. W ostatnim temacie skupimy się na identyczności i pewnych
własnościach relacji dwuargumentowych, które znajdą zastosowanie w metodologii (moduł 6).
Na problemach zastosowania KRK do analizy rozumowań w języku naturalnym skupimy się
w następnym module.
73
Wspomnieliśmy we wstępie, że KRK to logika wystarczająca do zastosowań matematycznych.
Zanim więc przedstawimy formalnie język, pokażemy na prostym przykładzie, jakie kategorie
syntaktyczne są w matematyce potrzebne. W wyrażeniu:
1.
y=x+4 wtw istnieje z takie, że z-3<y
można wyróżnić trzy
zmienne nazwowe
(albo indywidualne) ”x”, ”y”, ”z”; jedna z nich (”z”) jest
związ a n a przez
kwantyfikator mały
(
istnieje... takie, że
) często zwany też egzystencjalnym,
albo szczegółowym - pozostałe są w o l n e . ”4” i ”3” to
stałe nazwowe
, gdyż w przeciwieństwie
do zmiennych ”x”, ”y” ich znaczenie jest ustalone. ”+ ” i ”
-
” to
stałe funkcyjne
(krótko funkcje,
albo operacje), obie o kategorii n/n,n, natomiast ”= ” i ”< ” to
stałe predykatywne
(predykaty,
orzeczniki) o kategorii z/n,n.
Wszystkie te wyrażenia to
stałe pozalogiczne
, gdyż ich znaczenie jest sprecyzowane na
gruncie pewnej teorii matematycznej, a nie na gruncie logiki. Jedyne stałe logiczne to spójnik
wtw
i kwantyfikator mały. Całość jest
funkcją zdaniową
, gdyż zmienne ”x” i ”y” są wolne (nie są
związane przez żaden kwantyfikator, czy ogólniej – operator), a zatem nie mają ustalonego
znaczenia.
Powyższy przykład pokazuje, że język KRK musi być wystarczająco bogaty, aby móc
reprezentować nazwy, predykaty i operacje o dowolnej liczbie argumentów. Powyżej
występowały stałe pozalogiczne, jednak logika ma dostarczać schematów reguł ważnych
niezależnie od treści odpowiednich predykatów czy operacji. Dlatego będziemy używać
z m i e n n y c h predykatywnych i funkcyjnych, nie poddając ich jednak kwantyfikacji.
Intuicyjnie należy to rozumieć jako utajoną kwantyfikację ogólną, czyli – jeżeli w formule będą
występować np. jakieś zmienne predykatywne, wtedy oznacza to, że warunek wyrażony w tej
formule dotyczy dowolnych predykatów podstawionych za te zmienne. Z powodów czysto
technicznych będziemy jednak rozróżniać zmienne nazwowe wiązane przez kwantyfikator od
zmiennych tej samej kategorii, ale mających reprezentować pozalogiczne stałe nazwowe.
Te drugie dalej będziemy skrótowo określać jako
stałe nazwowe
.
74
Jak widać z powyższych rozważań
słownik
języka KRK jest znacznie bardziej zróżnicowany
i oprócz nowych stałych logicznych zawiera kilka grup zmiennych różnych kategorii:
1) Nieskończony, przeliczalny zbiór
zmiennych nazwowych
, (kategoria syntaktyczna n) który
będziemy oznaczać krótko ZN; jego elementy to litery: x, y, z, v, w, ..., x
1
, y
1
,.... Zasadniczo
będziemy ich używać tylko w powiązaniu z kwantyfikatorami.
2) Nieskończony, przeliczalny zbiór
zmiennych funkcyjnych
(ZF) o różnych ilościach
argumentów (również zeroargumentowych). W przypadku zerowej ilości argumentów mamy
do czynienia po prostu ze
stałymi nazwowymi
(SN). Funkcją SN jest reprezentowanie
dowolnych prostych nazw indywidualnych, a dla ich oznaczenia używać będziemy liter: a, b,
c, ...., a
1
, b
1
, .... Dla zmiennych funkcyjnych o nie zerowej ilości argumentów (czyli kategorii
n/n, n/n,n, n/n,n,n, ...) będziemy używali liter: f, g, h, ...., f
1
, g
1
, .... Ilość potrzebnych
argumentów najczęściej będzie określał kontekst, w przeciwnym wypadku będzie ona
zaznaczana górnym indeksem przy symbolu, np. g
3
oznaczać będzie, że g jest kategorii
n/n,n,n.
3) Nieskończony, przeliczalny zbiór
zmiennych predykatywnych
(ZP), o różnych ilościach
argumentów (kategorii z/n, z/n,n, z/n,n,n, ....). Tu również dopuszczamy zeroargumentowe
zmienne predykatywne – są to po prostu zmienne zdaniowe (ZZ). Generalnie będziemy
tutaj używać dowolnych dużych liter łacińskich: A, B, C, ...., A
1
, B
1
, ...., a jeśli ilość
argumentów nie będzie wynikała z kontekstu, to będziemy ją zaznaczać, podobnie jak
w przypadku zmiennych funkcyjnych, przez użycie indeksu górnego.
4)
Stałe logiczne
, to te same spójniki co w języku KRZ, a oprócz tego dwa kwantyfikatory:
ogólny (
dla każdego…
)
∀
mały (
dla pewnego …; istnieją
takie…, że…
)
∃
Oba kwantyfikatory będą występowały zawsze w połączeniu ze zmiennymi nazwowymi,
które mają wiązać w danej formule w następujący sposób
:
“
∀
x”
5)
Nawiasy
, czyli znaki interpunkcyjne.
75
Najpierw podamy definicję
termu
, czyli wyrażenia nazwowego języka KRK (w skrócie
Term(KRK)), a następnie formuły. Generalnie, w metajęzyku używać będziemy następujących
symboli:
α
,
β
– na oznaczenie dowolnych zmiennych nazwowych;
σ
– dla stałych nazwowych a
σ
n
dla n-argumentowych zmiennych funkcyjnych;
τ
– dla dowolnych wyrażeń nazwowych;
Π
n
– dla n-argumentowych zmiennych predykatywnych;
ϕ
i
ψ
–
nadal oznaczają formuły, natomiast
ϕ
(
α
),
ψ
(
α
,
β
) oznaczają takie formuły, w których
odpowiednie zmienne występują co najmniej w jednym miejscu jako wolne (czyli nie
związane przez żaden kwantyfikator);
Γ
,
∆
,
Σ
– będą dalej używane jako symbole dowolnych zbiorów formuł.
Zbiór Term(KRK) definiujemy następująco:
a) ZN
⊆
Term(KRK) oraz SN
⊆
Term(KRK)
b) jeżeli
τ
1
, ....,
τ
n
, są (niekoniecznie różnymi) elementami Term(KRK), to wtedy
σ
(
τ
1
, ....,
τ
n
) należy do Term(KRK), pod warunkiem, że
σ
n
należy do ZF
c) nicwięcej nie należy do Term(KRK)
Zbiór For(KRK) definiujemy następująco:
a) ZZ
⊆
For(KRZ)
b) jeżeli
τ
1
, ....,
τ
n
,
są (niekoniecznie różnymi) elementami Term(KRK), to wtedy
Π
(
τ
1
, ....,
τ
n
) należy do For(KRK), pod warunkiem, że
Π
n
należy do ZP
c) jeżeli
ϕ
i
ψ
należą do For(KRK), to
¬ϕ
, (
ϕ∧ψ
), (
ϕ∨ψ
), (
ϕ→ψ
), (
ϕ↔ψ
),
∀αϕ
,
∃αϕ
też
należą do For(KRK)
d) nicwięcej nie należy do For(KRK)
Obie powyższe definicje są indukcyjne, przy czym druga z nich po prostu poszerza analogiczną
definicję dla języka KRZ. Formuły scharakteryzowane w warunku a) i b) będziemy dalej określać
jako
formuły atomowe
. Zwróćmy uwagę, że chociaż w praktyce matematycznej predykaty
76
i operacje dwuargumentowe zwykło się umieszczać pomiędzy argumentami, to dla odpowiednich
zmiennych przyjęliśmy jednolitą formę zapisu, w której symbol predykatu (operacji) występuje
zawsze przed swoimi argumentami. Podany wyżej przykład funkcji zdaniowej z języka arytmetyki
ma więc następujący schemat w języku KRK:
2.
I(y,f(x,a))
↔∃
z(M(g(z,b),y))
Gdzie stałe nazwowe “a” i “b” zastępują (denotują) “4” i “3”, zmienne funkcyjne “f” i “g” zastępują
“+” i “-“, natomiast zmienne predykatywne “I” i “M” zastępują “=” i “<”.
77
[ Pobierz całość w formacie PDF ]