Momenty bezwładności figur płaskich - wiedza tajemna, Budownictwo UZ Zielona Góra, mechanika budowli
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
FIGUR PŁASKICH
Przekroje poprzeczne prętów, wałów i belek – figury płaskie,
charakteryzujące się następującymi parametrami:
– polem powierzchni przekroju
[mm
2
, cm
2
, m
2
],
– położeniem środka ciężkości przekroju,
– momentami statycznymi
[cm
3
, m
3
],
[cm
4
, m
4
].
– momentami bezwładności
Definicja momentu statycznego w w
układzie osi X i Y:
S
x
ydA
,
S
y
xdA
A
A
W zależności od położenia przekro-
ju względem osi układu współrzęd-
nych
mogą przyjmować wartości
dodatnie i ujemne
.
Wykorzystując znane ze statyki pojęcie środka sił, dla środka
ciężkości można napisać:
S
x
y
c
A
S
y
x
c
A
Korzystając z tych zależności, współrzędne środka ciężkości
figury płaskiej można
obliczyć ze wzoru:
x
S
y
,
y
S
x
.
c
c
A
A
Środek ciężkości przekrojów złożonych –podział przekroju na
figury proste.
n
n
A
x
A
y
i
i
i
i
x
c
i
1
,
y
c
1
,
n
n
A
A
i
i
i
1
i
1
A
i
– pola powierzchni figur prostych, x
i
, y
i
– współrzędne środ-
ków ciężkości poszczególnych figur prostych.
07 Momenty, hipoteza
98
Definicja momentu statycznego
i
P
RZYKŁAD
Określić położenie środka ciężkości fi-
gury przedstawionej na rysunku.
Przekrój podzielono na trzy prostokąty
o następujących polach powierzchni:
A
1
= 1
1 = 1 cm
2
,
A
2
= 2
5 = 10 cm
2
,
A
3
= 2
2 = 4 cm
2
.
Współrzędne środka ciężkości całej figu-
ry wynoszą
x
A
1
x
1
A
2
x
2
A
3
x
3
1
1
10
3
4
5
3
43
cm
,
c
A
A
A
1
10
4
1
2
3
y
A
1
y
1
A
2
y
2
A
3
y
3
1
1
10
3
4
5
3
77
cm
.
c
A
A
A
1
10
4
1
2
3
Momenty bezwładności
Definicja
momentów bezwładności:
– osiow
e momenty bezwładnośc
i
J
x
y
2
dA
,
J
y
x
2
dA
,
A
A
–
biegunowy moment bezwładności
J
2
dA
x
2
y
2
dA
J
J
,
0
x
y
A
A
– moment dewiacyjny (zb
oczenia, odśr
odkowy)
J
xy
xydA
.
A
Momenty osiowe oraz moment biegunowy są
zawsze dodatnie, natomiast
moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny
.
07 Momenty, hipoteza
99
Momenty bezwładności figur złożonych są sumą momentów
bezwładności prostych figur składowych. Figura złożona może
składać się z figur „pełnych” oraz „pustych”. Przy sumowaniu
momentów bezwładności figury „puste” uważa się za figury z
ujemnymi polami powierzchni.
P
RZYKŁAD
Figury złożone przedstawione na rysunku podzielić na figury proste.
Podział
figury złożonej
na figury proste
(jeden z możliwych
do zastosowania
podziałów figury).
Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera umożli-
wia obliczanie momentów bez-
władności figur płaskich
względem osi równolegle
przesuniętych w stosunku do
osi centralnych
(osi przecho-
dzących przez środek ciężko-
ści przekroju).
Dla figury płaskiej o powierzchni A, obliczyć momenty bez-
władności względem osi X–Y, równolegle przesuniętych w sto-
sunku do osi centralnych (środkowych) X
0
–Y
0
o odcinki a i b.
Na podstawie definicji momentu bezwładności moment osio-
wy względem osi X dla y
1
= y + a wyraża wzór:
y
dA
y
a
2
dA
y
2
dA
2
ydA
a
2
dA
J
Aa
2
.
x
1
x
0
A
A
A
A
A
07 Momenty, hipoteza
100
J
W powyższym równaniu całka
A
ydA opisuje moment statycz-
ny, który względem osi centralnych jest równy zeru. W podobny
sposób określa się moment względem osi Y oraz moment de-
wiacyjny
J
x
b
2
dA
J
Ab
2
,
y
x
0
A
J
xy
a
x
b
dA
J
x
0
y
0
Aab
.
A
Wyprowadzone wyżej zależności noszą nazwę
twierdzenia
Steinera
.
Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi
równoległej odległej od środka ciężkości o określoną wartość
jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzą-
cej przez środek ciężkości figury, powiększonemu o iloczyn
powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami.
Moment dewiacyjny figury płaskiej względem osi równolegle
przesuniętych jest równy momentowi dewiacyjnemu wzglę-
dem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i
obu składowych równoległego przesunięcia.
Twierdzenie Steinera
ma następująca p
ostać matematyczną:
J
J
Aa
2
,
x
x
0
J
J
Ab
2
,
y
y
0
J
xy
J
x
0
y
0
Aab
.
07 Momenty, hipoteza
101
x
Momenty bezwładności figur prostych
Figura
J
x
J
y
J
xy
bh
3
hb
3
J
0
J
J
x
o
y
x
o
y
o
12
o
12
b
2
h
2
3
3
bh
hb
J
J
J
xy
4
x
y
3
3
bh
3
hb
3
b
2
h
2
J
J
J
x
o
y
72
x
o
x
o
o
36
36
b
2
h
2
3
3
bh
hb
J
J
J
xy
24
x
x
12
12
J
D
4
J
D
4
x
y
64
64
J
xy
0
R
4
R
4
4
4
D
4
8
J
x
o
16
8
9
D
4
J
0
00686
D
4
y
128
J
0
xy
0
1098
R
4
R
4
J
0
x
o
y
o
8
D
4
R
4
J
x
128
8
R
4
J
4
xy
8
4
J
R
x
o
16
9
R
4
4
J
R
4
x
y
0
0549
R
J
o
0
8
x
16
4
4
D
4
R
4
J
x
256
16
9
0
0165
R
4
07 Momenty, hipoteza
102
[ Pobierz całość w formacie PDF ]