Momenty bezwladnosci-1, BUDOWNICTWO, Mechanika teoretyczna, mechanika, mechanika, mechanika
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
6.1. Rodzaje momentów bezwładności
W punkcie (4.4) poznaliśmy wielkości charakteryzujące rozkład masy,
nazywane momentami statycznymi. W podanych tam wzorach (4.20) współrzędne
występują w pierwszej potędze. Przekonamy się, że w dynamice doniosłą rolę
odgrywają wielkości, w których rozkład masy będzie opisany iloczynem masy
punktu i kwadratu jego odległości od punktu, płaszczyzny lub osi. Wielkości te
nazywamy
masowymi momentami bezwładności
lub krótko
momentami
bezwładności
, albo momentami statycznymi drugiego rzędu.
Momentem bezwładności punktu materialnego względem bieguna (punktu),
płaszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego odległości
od bieguna, płaszczyzny lub osi.
Z powyższej definicji wynika, że istnieją trzy rodzaje momentów bezwładności:
1) biegunowe (momenty bezwładności względem punktu),
2) względem płaszczyzn,
3) względem osi (osiowe momenty bezwładności).
W dalszej kolejności zajmiemy się momentami bezwładności układu punktów
materialnych i bryły.
6.2. Momenty bezwładności układu punktów materialnych
z
Załóżmy, że mamy układ
materialny złożony z n punktów
materialnych o masach m
k
znajdujących się w punktach A
k
opisanych wektorami wodzącymi
(rys. 6.1).
h
kz
y
k
m
k
x
k
A
k
r
k
h
ky
r
= + +
xy z
k
.
i
j
k
k
k
r
k
h
kx
z
k
Biegunowym momentem
bezwładności
I
O
układu punktów
materialnych względem punktu O
nazywamy sumę iloczynów mas m
k
i
kwadratów ich odległości od
punktu 0, czyli
O
y
x
r
2
Rys. 6.1. Opis położenia punktu
n
( )
materialnego
I
=
∑
=
mr
2
=
∑
mx
2
+ +
y
2
z
2
.
O
k k
k
k
k
k
k
1
(6.1)
Momentami bezwładności
I
xy
, I
yz
, I
zx
względem płaszczyzn
xy, yz, zx układu
punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas m
k
przez kwadraty ich
odległości od tych płaszczyzn. Zatem mamy:
∑
n
∑
n
∑
n
I
=
m z
2
,
I
=
m x
2
,
I
=
m
y
2
. (6.2)
xy
k k
yz
k k
zx
k k
k
=
1
k
=
1
k
=
1
Momentami bezwładności
I
x
, I
y
, I
z
względem osi
x, y, z układu punktów
materialnych nazywamy sumy iloczynów mas m
k
oraz kwadratów ich odległości
od tych osi:
∑
n
∑
n
( )
⎫
I
=
m
h
2
kx
=
m
y
2
k
+
z
2
k
,
⎪
x
k
k
⎪
k
=
1
k
=
1
n
n
(
( )
⎪
)
∑
∑
I
=
m
h
2
ky
=
m
z
2
k
+
x
2
k
,
⎬
.)
y
k
k
k
=
1
k
=
1
n
n
∑∑
I
z
=
m
k
h
2
kz
=
m
k
x
2
k
+
y
2
k
.
⎭
k
=
1
k
=
1
Oprócz zdefiniowanych wyżej momentów bezwładności względem punktu,
płaszczyzn i osi w dynamice ważną rolę odgrywają wielkości, które nazywamy
momentami dewiacyjnymi
(albo momentami mieszanymi lub odśrodkowymi).
Momentami dewiacyjnymi
D
xy
, D
yz
, D
zx
układu punktów materialnych
nazywamy sumę iloczynów mas m
k
przez iloczyn ich odległości od dwóch
prostopadłych płaszczyzn yz i zx, zy i xy, xy i yz. Momenty te wyrażają wzory:
∑
n
⎫
D
=
D
=
m
x
y
,
⎪
xy
yx
k
k
k
k
=
1
⎪
n
∑
D
=
D
=
m
y
z
,
⎬
. )
yz
zy
k
k
k
k
=
1
⎪
n
⎪
∑
D
=
D
=
m
z
x
.
zx
xz
k
k
k
⎪
⎭
k
=
1
Momenty dewiacyjne mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie, jak i
ujemne, ponieważ w powyższych wzorach − w przeciwieństwie do momentów
bezwładności − występują iloczyny, a nie kwadraty współrzędnych. Ponadto
wykażemy, że jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn, względem których obliczamy
momenty dewiacyjne, jest płaszczyzną symetrii rozpatrywanego układu
materialnego (bryły), to odpowiednie momenty dewiacyjne są równe zeru.
Załóżmy, że płaszczyzną symetrii jest płaszczyzna xy. W tym przypadku
każdemu punktowi A
k
o współrzędnych x
k
, y
k
, z
k
i masie m
k
odpowiada − na
zasadzie symetrii − inny punkt
o współrzędnych x
m
k
x
k
z
k
+
m
k
x
k
( ) ( )
( ) ( )
0
z
k
=
m
k
x
k
z
k
−
z
k
=
0
m
k
y
k
z
k
+
m
k
y
k
−
z
k
=
m
k
y
k
z
k
−
z
k
=
czyli dwa z trzech momentów dewiacyjnych będą równe zeru:
D
zx
= D
yz
= 0.
Łatwo się przekonać, że jeżeli układ materialny ma dwie płaszczyzny symetrii, to
wszystkie momenty dewiacyjne będą równe zeru.
Powyższa własność momentów dewiacyjnych ma duże znaczenie w
obliczeniach praktycznych.
A
k′
k
, y
k
, –z
k
i takiej samej
masie m
k
. Momenty dewiacyjne tych dwóch punktów będą równe zeru:
−
6.3. Momenty bezwładności bryły
Jeżeli bryłę o masie m podzielimy myślowo na n małych elementów o masach
∆m
k
(rys. 6.2), to przybliżone
wartości momentów bezwładności
tych elementów, traktowanych jako
punkty materialne, możemy obliczyć
ze wzorów (6.1)–(6.4) na momenty
bezwładności układu punktów
materialnych.
z
r
k
∆m
k
O
Dokładne wartości momentów
bezwładności otrzymamy, biorąc
granicę sum przy liczbie elementów
n dążących do nieskończoności.
Wtedy zamiast sum otrzymamy całki
rozciągnięte na całą masę m.
y
x
Rys. 6.2. Opis położenia dowolnego elementu
bryły sztywnej
Biegunowy moment bezwładności
n
( )
I
=
lim
n
∑
∫ ∫
∆
mr
2
= = + +
r dm xyzdm
2
2
2
2
Z rachunku całkowego
O
k k
→∞
k
=
1
m
m
wiadomo, że całka sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych funkcji:
( )
I
=
∫
x
2
+
y
2
+
z
2
dm
=
∫
x
2
dm
+
∫
y
2
dm
+
∫
z
2
dm
. (6.5)
O
m
m
m
m
Występujące w powyższym wzorze całki są
momentami bezwładności względem
płaszczyzn:
I
=
∫
x
2
dm
,
=
∫
y
2
dm
,
=
∫
z
2
dm
. (6.6)
yz
zx
xy
m
m
m
Ze wzoru (6.5) wynika następujące twierdzenie:
Biegunowy moment bezwładności jest równy sumie momentów bezwładności
względem trzech prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez ten biegun:
I
O
=
I
yz
+
I
zx
+
I
xy
. .)
Zależności na
momenty bezwładności względem osi
mają postać:
I
=
∫
( )
( )
( )
y
2
+
z
2
dm
=
∫
y
2
dm
+
∫
z
2
dm
,
⎫
x
⎪
m
m
m
I
=
∫
z
2
+
x
2
dm
=
∫
z
2
dm
+
∫
x
2
dm
,
⎬
(6.8)
y
⎪
m
m
m
I
=
∫
x
2
+
y
2
dm
=
∫
x
2
dm
+
∫
y
2
dm
.
⎪
z
⎪
⎭
m
m
m
W powyższych wzorach łatwo można zauważyć, że związki między
momentami bezwładności względem osi i względem płaszczyzn są następujące:
I
x
=
I
zx
+
I
xy
,
y
=
I
xy
+
I
yz
,
z
=
I
yz
+
I
zx
. (6.9)
Z pierwszego wzoru (6.9) wynika, że moment bezwładności I
x
względem osi x
jest sumą momentów bezwładności względem płaszczyzn xy i zx przecinających
się wzdłuż tej osi. Podobne wnioski wynikają z dwóch pozostałych wzorów.
Można zatem sformułować twierdzenie:
Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentów bezwładności
względem dwóch prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej osi.
Jeżeli dodamy stronami wzory (6.9) i uwzględnimy zależność (6.7), to
otrzymamy zależność między biegunowym momentem bezwładności i momentami
bezwładności względem osi:
I
=
1
( )
I
+
I
+
I
. .)
O
2
x
y
z
Biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy momentów
bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.
Dewiacyjne momenty
dla bryły można zapisać w postaci:
D
=
D
=
∫
xydm
,
⎫
xy
yx
⎪
m
D
=
D
=
∫
yzdm
,
⎬
.)
yz
zy
⎪
m
⎪
D
=
D
=
∫
zxdm
.
zx
xz
⎪
⎭
m
Jeżeli do wzorów (6.5), (6.6), (6.8) i (6.11) podstawimy zależność: dm = ρdV,
gdzie
ρ
jest gęstością bryły w punkcie o współrzędnych x, y, z, a V objętością,
i założymy, że bryła jest jednorodna, to gęstość możemy wynieść przed znak całki.
Otrzymamy wtedy wzory na momenty bezwładności w poniższej postaci:
a) biegunowy moment bezwładności
⎪
⎪
[ Pobierz całość w formacie PDF ]