Modelowanie układów ...

Modelowanie układów mechatronicznych w środowiskach obliczeniowych WYKŁAD, Studia, Studia sem VI, ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Modelowanie
układów
mechatronicznych w środowiskach obliczeniowych
WYKŁAD
Opracowali z notatek
Piotr Zamorski
Piotr Papaj
WYKŁAD 1
Modelowanie ma na celu przeprowadzenie symulacji na układach dynamicznych.
Układy dynamiczne –
są układami w których wielkości opisujące te układy ulegają chwilowym
zmianom. Wielkość jest cechą , którą można wyrazić jednostkowo i wyznaczyć ilościowo.
Symulacja
– eksperyment numeryczny prowadzony na pewnego rodzaju modelu – matematycznym ,
informatycznym, lub rzeczywistym, celem określenia znaczenia zmian wartości parametrów lub
wartości zmiennych objaśniających dla wartości zmian prognozowanych.
Do przeprowadzenia symulacji zazwyczaj konieczne jest zbudowanie modelu matematycznego
symulowanego obiektu . Symulacja zastępuje wykonanie eksperymentu na badanym obiekcie.
Model
„Taki dający się pomyśleć lub materialnie zrealizować układ, który odzwierciedlając lub
odtwarzając przedmiot badania zdolny jest zastępować go tak, że jego badanie dostarcza nam nowej
wiedzy o przedmiocie.”
Model to zatem teoretyczny opis badania obiektów , który charakteryzuje się cechami
- jest pewnym uproszczeniem , idealizacją rzeczywistości
- jest w sensie pewnego kryterium zbieżny z rzeczywistością
- jest na tyle prosty, że możliwa jest jego analiza dostępnymi metodami obliczeniowymi
- jego analiza dostarcza nam nowej informacji o obiekcie badań
Modelowanie zjawisk i procesów dynamicznych może posłużyć :
- próbie zrozumienia istoty procesu w celu predykcji jego przebiegu w wyniku zmiennych warunków
przy różnych wartościach parametrów.
- umożliwia badanie cech jakościowych procesu np. stabilności , sterowalności , obserwowalności ,
które mają ogromne znaczenie przy rozpatrywaniu go w dłuższym przedziale czasu .
- umożliwienie sztywnego sterowania procesem poprzez wpływanie w określony sposób na jego
parametry wewnętrzne .
- zastosowanie modelu w systemie adaptacyjnym zamkniętym wnoszącym zmianę procesu w
kierunku pożądanym przez użytkownika.
Schemat badania własności dynamicznych układu rzeczywistego:
UKŁAD RZECZYWISTY
Modelowanie fizyczne
Przygotowanie danych do
programu komputerowego
MODEL FIZYCZNY
Modelowanie dyskretne
MODEL DYSKRETNY
Modelowanie matematyczne
MODEL MATEMATYCZNY
DANE DO OBLICZEŃ
Programowanie
PROGRAM KOMPUTEROWY
Wykonanie obliczeń
WYNIKI OBLICZEŃ
Najczęściej stosowane założenia upraszczające polegają na :
- uproszczeniu kształtu geometrycznego rozpatrywanego układu
- założeniu jednorodności materiału poszczególnych elementów rozpatrywanego układu
- przyjęcie pewnych elementów rozpatrywanego modelu jako brył idealnie sztywnych
- przyjęciu pewnych elementów modelu jako nieważkie
- założeniu liniowych charakterystyk właściwości fizycznych modelu
- założeniu że wielkość parametrów fizycznych układu rzeczywistego są niezmienne w czasie
- pominięcie mało istotnych oddziaływań zewnętrznych między rozpatrywanym układem a
otoczeniem
- pominięcie mało istotnych oddziaływań wewnętrznych między poszczególnymi elementami układu
- zastąpieniu procesów stochastycznych jakie zachodzą w układzie rzeczywistym procesami
zdeterminowanymi.
Symulacja układów dynamicznych
1)
Wyprowadzenie równań dynamiki dla utworzonego modelu fizycznego , implementacja
numeryczna i przeprowadzenie symulacji
2)
Budowa modelu układu rzeczywistego w postaci reprezentacji symbolicznej np. Working
model, SimMechanics (Matlab)
3)
Przeprowadzenie symulacji układu na podstawie modeli 2D, 3D utworzonego w specjalnym
programie np. Inventor, ADAMS
Postać równań ruchu stosowanych podczas badania dynamiki układów:
- układy o stałej konfiguracji – symulacja drgań
+ + =
=
- układy o zmiennej konfiguracji – symulacja ruchu
= = ,, +
,
, = 0
Stopnie swobody modeli układów dyskretnych:
lasyfikacja więzów:
- więzy skleronomiczne
- więzy reonomiczne
- więzy holonomiczne – więzy skleronomiczne + reonomiczne
- więzy nieholonomiczne
Wykład 2
Równanie ruchu zmiennych zależnych
Sformułowanie polega na rozbiciu układu będącego układem nieswobodnym na układ składający się z
członów swobodnych: Dla którego równania ruchu mają postać:
=A(p)v
M(p)
+ h(p,v) = f(p, v, t) Są zmiennymi stanu ruchu układu
Współrzędne położenia: p = [ p
1
, … , p
n
]
T
Składowe prędkości: v = [v
1
, … , v
n
]
T
Nałożenie na układ swobodny więzów w miejscu występowania par kinematycznych członów,
powoduje że zmienne stają się zależne, a równanie ruchu układu swobodnego uwzględnia reakcje
więzów w formie mnożników Lagrange’a λ = [λ
1
, … , λ
r
]
T
i zapisuje się w postaci równania ruchu
nieswobodnego:
M(p)
+ h(p, v) = f(p, v, t) + C
T
(p, t)λ
Równanie to uzupełnia się o równanie więzów, odpowiadające liczbie mnożników Lagrange’a
m
jako ograniczenia nałożone na prędkości układu:
ɸ (p, t) = 0
C
NH
(p, t)v – η
NH
(p, t) = 0
Ostatecznie równanie ma postać:
=A(p)v
M(p)
+ h(p, v) = f(p, v, t) + C
T
(p, t)λ
ɸ (p, t) = 0
C
NH
(p, t)v – η
NH
(p, t) = 0
Ze względu ma komplikację polegające na wyznaczeniu wartości początkowych dla mnożników
Lagrange’a równania więzów zastępuje się ich różniczką względem czasu, czyli więzami
kinematycznymi II rzędu, wyróżniających
m
ograniczej nakładanych na przyspieszenie układu.
Równanie ruchu będące równaniami różniczkowymi-algebraicznymi przyjmują wówczas postać:
=A(p)v
M(p)
+ h(p, v) = f(p, v, t) + C
T
(p, t)λ
C(p, t
= ξ(p, v, t)
*przy czym
p
i
v
realizują warunki równań więzów niższych rzędów
ɸ (p
0
, t
0
) = 0
C(p
0
, t
0
)v
0
- η (p
0
, t
0
) = 0
Eliminacja jawna
Po wyliczeniu kilku przekształceń otrzymamy równanie ruchu w postaci:
=A(p)v
M
+ h = f + C
T
(CM
-1
C
T
)
-1
[ξ - CM
-1
(f - h)]
Uwagi - Wynikiem stosowania jawnej eliminacji mianowników(?) Lagrange’a otrzymujemy 2
n
równań
różniczkowych zwyczajnych względem zmiennych
p
i
v.
Metoda ta jest rzadko wykorzystywana ze względu na skomplikowane działania macierzowe i
problemy podczas wyznaczania mnożników Lagrange’a układów składających się z dużej liczby
członów.
Eliminacja niejawna
Macierzowa reprezentacja równania ruchu:
(*)
−
=A(p)
− ℎ
λ
=
ξ
0
Przekształcając równanie powyższe do postaci:
λ
= G
-1
g = g’ (p, v, t) (**)
Równania (*) i
n
pierwszych równań (**) odpowiadać będzie Z
n
równań różniczkowych zwyczajnych I
stopnia względem
p
i
v
a pozostałe
m
równań (**) mnożnikom λ w zależności od aktualnych
zmiennych stanu ruchu.
Uwagi
Metoda ta jest powszechnie stosowana ze względu na łatwość formułowania równań ruchu i
możliwość automatyzacji tego procesu.
Eliminacja rzutowa
Metoda przedstawiająca geometryczne równania ruchu układu nieswobodnego. Układ nieswobodny,
sprowadza się do punktu materialnego znajdującego się w n-wymiarowej przestrzeni układu, a
dynamicznie równania ruchu układu nieswobodnego przedstawia się wektorowo.
Równanie ruchu układu nieswobodnego, przedstawione w postaci wektorowej:
M(p)v + h(p, v) = f(p, v, t) + C
T
(p, t)λ
↕
b
f
̅
r̅
=
+
b
v
(b = M
+h)
f
̅
r̅
(r = C
T
λ)
(f) i
Siła dynamiczna zrównoważona na …. równa się sile czynnej i reakcji więzów jest adekwatna z
ograniczeniami nałożonymi przez więzy
b
= fc
+ r̅
Jeżeli siła dynamiczna zrzutowana będzie na kierunek styczny to odpowiadać będzie dynamicznemu
równaniu ruchu. Oswobodzenie więzów od reakcji , równań ruchu ma postać
=
Podsumowanie :
- Przedstawione metody modelowania układów wieloczłonowych różnią się sposobem otrzymywania
równań ruchu.
- Modelowanie w zmiennych zależnych cechuje się prostotą formułowania równań ruchu a proces
ten można zautomatyzować. Jednakże wynikiem tego są duże wymiary generowanych równań ruchu
w postaci równań różniczkowo algebraicznych co znacząco obniża dokładność z powodu dużego
wymiaru równań. Mogą także wystąpić nałożenia więzów, co powoduje zastosowanie dodatkowych
algorytmów w celu ich niwelowania. Ostatecznie po wybraniu odpowiedniej metody eliminacji
mnożników, wynikiem modelowania w zmiennych zależnych są równania w postaci równań
różniczkowych zwyczajnych.
- Modelowanie w zmiennych niezależnych jest z założenia uwolnione od reakcji więzów a
otrzymywane równania mają minimalny wymiar. Rozwiązywanie otrzymanych równań ruchu jest
bardziej wydajnie i dokładne niż w przypadku zmiennych zależnych. Jednakże większy wkład pracy
potrzebny jest na etapie modelowania dla każdego układu.
( przykład pominięty ze względu na 3 strony samych popierdolonych wzorów)
WYKŁAD 3
Modelowania układu elektromechanicznego.
M
(t) + (C
v
+ C
g
)
(t) + K
q
(t) = Q
układ mechaniczny
i
T
L
i
+ R
i
= U → M
el
=
L
i
układ elektryczny
Gdzie: M, C
v,
K, C
g
, macierze bezwładności, tłumienia, sztywności i efektu żyroskopowego, M
el
–
moment elektromagnetyczny.ω
1
-prędkośc kątowa wirnika.
Postać równań ruchu opisują zjawiska dynamicznego układu
Układy o stałej konfiguracji
– symulacja drgań
M
+ kq = Q
Układy o zmiennej konfiguracji
– symulacja ruchu
+ C
=
= = ,, +
,
, = 0
Metody układania dynamicznych równań ruchu:
- metody sił: równanie Newtona, równanie d’Alamberta, prawa Kirchoffa,
- metody energetyczne: równania Lagrange’a II rodzaju, analogie elektromechaniczne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]