momenty wektora względem punktu, PWR, Mechanika
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2.4. Moment wektora względem punktu
Momentem wektora
a
względem punktu
(bieguna) O nazywamy iloczyn
wektorowy wektora
r
A
=
OA
o początku w punkcie O i końcu w początku wektora
a
przez wektor
a
(rys. 2.10). Moment wektora względem punktu będziemy
oznaczać w następujący sposób:
= (2.35)
Z podanej definicji wynika, że moment wektora względem punktu ma
własności wynikające z omówionego w p. 2.3.2 iloczynu wektorowego. Zatem
wektor
M
O
(
a
) jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny określonej przez
wektory
r
A
i
a
i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej. Albo inaczej, jego
zwrot jego jest taki, że dla obserwatora patrzącego z końca wektora momentu
wektor
a
wywołuje obrót wokół bieguna O w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara.
Moment wektora względem punktu jest równy zeru, gdy wektor
a
= 0 lub wektory
r
A
i
a
są równoległe, albo linia działania wektora
a
przechodzi przez punkt O.
Obecnie zastanówmy się, jak zmieni się moment wektora względem punktu,
gdy wektor
a
przesuniemy wzdłuż linii jego działania. W tym celu obliczmy
moment wektora przyłożonego w punkcie
M
O
( )
.
a
r
A
×
a
A , różniącego się od wektora
a
tylko punktem przyłożenia, względem punktu O (rys. 2.10). Z definicji momentu
wektora względem punktu mamy:
a
′
′
M
O
( )
.
a
′
=
r
A
′
×
a
′
Na podstawie rys. 2.10 możemy napisać:
r
A
′
= + ′
r A
A
.
Po podstawieniu tej zależności do wzoru na moment wektora względem punktu
otrzymamy:
Ma r AA a r aAA a
O
′ =+′ × ′ =×+ ′× ′.
A
Ponieważ
′
aa
, a iloczyn wektorowy dwóch wektorów leżących na jednej
prostej jest równy zeru:
AA a
′× = 0,
otrzymujemy:
( )
( )
Ma r a Ma
′ =×= .
A
O
()
( )
A
O
Z otrzymanej zależności wynika, że moment wektora
a
względem punktu O nie
ulegnie zmianie, gdy wektor przesuniemy wzdłuż linii jego działania, czyli jest on
wektorem przesuwnym. Wartość momentu
M
O
(
a
) będzie zależała od położenia
linii działania wektora, jego modułu oraz punktu, względem którego liczymy
moment.
Odległość punktu O od linii działania wektora
a
, oznaczonej na rys. 2.10 przez
h, będziemy nazywać ramieniem wektora.
Gdy wektor
a
przesuniemy do punktu
A
′
(rys. 2.10), to moment tego wektora:
M
O
( )
=
O
A
′
a
.
Z tego wzoru wynika, że moduł momentu jest równy iloczynowi modułu wektora
przez jego ramię:
M
O
( ) ( )
=
O
= .
a h
.)
Moment wektora względem punktu można wyrazić za pomocą współrzędnych
wektora
a
danych w prostokątnym układzie współrzędnych (rys. 2.11). Jeżeli
wektory
r
A
i
a
zapiszemy za pomocą ich współrzędnych:
r
A
=
x
i
+
y
j
+
z
k
,
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
,
a
′
z
a
M
O
(
a
)
A′
M
o
(
a
)
A
r
A
.
A″
r
A
h
a
0
y
0
r
A
A
x
Rys. 2.10. Moment wektora względem
punktu
Rys. 2. 11. Moment wektora względem
początku układu współrzędnych
to moment wektora
a
względem początku układu współrzędnych O na podstawie
wzorów (2.28) i (2.27) wyraża zależność:
a
aMa
i
j
k
()
M
O
a
=
r
A
×
a
=
x
y
z
=
a
x
a
y
a
z
( )
( )
( )
.
=
ya
z
−
za
y
i
+
za
x
−
xa
z
j
+
xa
y
−
ya
x
k
(2.37)
Po zapisaniu momentu w postaci:
M
O
()
=
M
Ox
i
+
M
O
y
j
+
M
Oz
k
i podstawieniu do wzoru (2.37) otrzymamy wzory na współrzędne wektora
M
O
(
a
):
M
Ox
=
ya
z
−
za
y
,
⎬
M
Oy
=
za
x
−
xa
z
,
(2.38)
⎭
M
Oz
=
xa
y
−
ya
x
.
a
⎫
[ Pobierz całość w formacie PDF ]