Model z jedną zmienną objaśniającą (liniowy i nieliniowy), Sopocka Szkoła Wyższa, Zarządzanie finansami, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
1
1.
SZACOWANIE OPISOWEGO MODELU LINIOWEGO Z JEDNĄ
ZMIENNĄ OBJAŚNIAJĄCĄ
1.1
DANE DO ZADANIA
Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu:
Y
=
α
+
α
⋅
X
+
u
t
0
1
t
t
gdzie:
Y
t
- wydatki na żywność w tys. zł. na osobę, X
t
- dochód netto w tys. zł. na osobę
.
Ponadto:
1. Obliczyć wariancję reszt modelu, średni błąd reszt, współczynniki R
2
, ϕ
2
i współczynnik zmienności
v.
2. Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
3. Ocenić istotność aukorelacji składnika losowego, zbadać normalność rozkładu składnika losowego,
zbadać stałość wariancji składnika losowego.
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli
Okres
Wydatki Y
t
Dochód X
t
1
0,1
0,35
2
0,15
0,45
3
0,18
0,6
0,24
0,95
4
0,28
1,2
5
6
0,35
1,7
1.2
SZACOWANIE PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH
Podany model, którego parametry należy oszacować, jest modelem liniowym z jedną zmienną
objaśniającą. W modelu mamy dwa parametry do oszacowania, więc macierze, które symbolicznie
oznaczamy w każdym rozpatrywanym przykładzie jako X
T
X i X
T
y, będą miały następujące postacie:
∑
∑∑
2
∑
∑
=
=
n
x
y
yx
t
t
T
T
XX
i
Xy
x
x
t
t
t
t
W związku z tym należy wykonać odpowiednie obliczenia. Ich wyniki zaprezentowane są w
poniższej tabeli.
1
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
2
x
t
2
y
t
2
Okres
y
t
x
t
y
t
x
t
(
)
2
yy
t
−
1
0,1
0,35
0,1225
0,035
0,01
0,01361
2
0,15
0,45
0,2025
0,0675
0,0225
0,00444
0,18
0,6
0,36
0,108
0,0324
0,00134
3
0,24
0,95
0,9025
0,228
0,0576
0,00054
4
5
0,28
1,2
1,44
0,336
0,0784
0,00401
0,35
1,7
2,89
0,595
0,1225
0,01778
6
∑
1,3
5,25
5,9175
1,3695
0,3234
0,04173
Wstawiając wyniki obliczeń do odpowiednich macierzy otrzymujemy:
6
,
5
13
1 3695
,
=
=
T
T
XX
i
Xy
525
,
5,9175
,
W dalszej kolejności należy dokonać odwrócenia macierzy X
T
X. Pamiętając, że macierz ta jest
zawsze symetryczna i nieosobliwa stosujemy do tego celu wzór:
(
)
D
XX
T
(
)
−
1
T
XX
=
T
XX
gdzie litera D oznacza macierz dopełnień algebraicznych elementów.
W przypadku macierzy o wymiarach 2×2 macierz
(
)
D
T
XX
tworzy się przez zamianę miejscami
elementów głównej przekątnej i zmianę znaków elementów drugiej przekątnej na przeciwne. Stąd
mamy:
5,9175
−
525
,
(
)
D
T
XX
=
−
525
,
6
Dzieląc wyrazy tej macierzy przez wartość wyznacznika otrzymujemy:
5,9175
−
525
,
−
525
,
6
0,74504
-0,661001
(
)
−
1
T
XX
=
=
7,9425
-0,661001
0,75543
Przy pomocy uzyskanych wyników możemy wyznaczyć oceny parametrów modelu posługując się
formułą estymatora KMNK:
2
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
3
0,74504
-0,661001
13
1 3695
,
ˆ
0,063314
←
α
=
⋅
=
(
)
−1
$
bXXXy
0
T
T
=
-0,661001
0,75543
,
ˆ
0,17526
←
α
1
Wyniki obliczeń możemy teraz wstawić do rozważanego modelu:
ˆ
Y
=
0,063314
+
0,17526
⋅
X
+
t
t
lub
ˆ
Y
=
0,063314
+
0,17526
⋅
X
t
Dokonując interpretacji otrzymanej postaci analitycznej powiemy, że
przy stałości pozostałych
czynników (ceteris paribus) wzrost przeciętnych dochodów X o jednostkę (o tys. złotych) powodował w
badanym okresie przyrost przeciętnych wydatków na żywność Y średnio o 0,175 jednostki (0,175 tys.
złotych).
1.3
MIARY DOPASOWANIA
1.3.1
WARIANCJA RESZT MODELU (OCENA WARIANCJI SKŁADNIKA
LOSOWEGO)
Aby obliczyć wariancję reszt ˆ modelu można skorzystać ze wzoru:
0,063314
0,17526
⋅
[
]
0,3234 - 1,3
1,3695
( )
(
T
ˆ
=
∑
2
T
y
−
X
y
⋅
b
0 3234
,
−
0,322327
4
=
0,001073
4
t
σ
ˆ
2
=
=
1
( )
n
−
k
+
6- 1+1
ˆσ
2
=
0,000268
1.3.2
ŚREDNI BŁĄD RESZT (STANDARDOWY BŁĄD REGRESJI, OCENA
ODCHYLENIA STANDARDOWEGO SKŁADNIKA LOSOWEGO)
Na podstawie znajomości wariancji reszt wyznaczamy odchylenie standardowe reszt modelu
(średni błąd reszt)
ˆ
:
ˆ
ˆ
2
ε
σ
=
σ
=
0
000268
=
0,016379
ε
Interpretując otrzymaną wartość powiemy, że
wartości empiryczne wydatków na żywność Y
t
różnią się od wydatków teoretycznych (obliczonych na podstawie modelu) Y
t
średnio o 0,0164
jednostki (0,0164 tys, złotych).
3
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
4
Chcąc porównać wielkość tego średniego odchylenia z wartościami wydatków Y
t
możemy
posłużyć się praktycznym wskaźnikiem zwanym współczynnikiem zmienności losowej v.
ˆ
σ
0,016379
v
=
⋅
100
=
⋅
100
=
7
559
%
y
0,216667
ˆ
stanowią przeciętnie około 7,6% wartości obserwacji na
Wskaźnik ten mówi, że
reszty modelu
zmiennej objaśnianej Y
. Ponieważ mamy do czynienia z udziałem reszt w wartościach rzeczywistych Y
pojawia się pytanie, czy udział ten jest duży czy mały. Decyzja ta zależy od tego, jaki wskaźnik v
uznamy za możliwy do akceptacji (np. 5%), a jaki naszym zdaniem będzie wskazywał na zbyt duże
wartości błędu.
1.3.3
WSPÓŁCZYNNIK ZBIEŻNOŚCI
zbieżności ϕ
2
obliczymy
Współczynnik
wykorzystując
następujący
wzór
(wartość
(
)
∑
−
2
y
t
y
została obliczona w poprzedniej tabeli):
0,063314
0,17526
⋅
[
]
0,3234 - 1,3
1,3695
( )
T
$
∑
2
T
y
−
Xy
⋅
b
0 3234
,
0,322327
0,04173
−
0,001073
0,04173
t
ϕ
2
=
=
=
=
∑
(
)
2
0,04173
yy
−
t
ϕ
2
= ,
0 0257
Interpretując ten wskaźnik powiemy, że
2,57% całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej Y nie
zostało wyjaśnione przez model (przez zmienność zmiennej objaśniającej X)
.
1.3.4
WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI
Współczynnik determinacji
R
2
obliczymy korzystając ze wzoru:
R
2
=− =−
1
ϕ
2
1
0 0257
,
=
0 9743
,
Interpretacja
: 97,43% całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej Y zostało wyjaśnione przez
model (przez zmienność zmiennej objaśniającej X).
1.4
ŚREDNIE BŁĘDY OCEN PARAMETRÓW
Średnie błędy ocen parametrów modelu oszacujemy rozpoczynając obliczenia od wyznaczenia
macierzy wariancji-kowariancji estymatorów parametrów modelu:
4
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
5
0,74504
-0,661001
0,00020
-0,00018
⋅
=
(
)
1
ˆ
−
2
ˆ
2
T
D
(
b
)
=
σ
⋅
X
X
= 0,000268
-0,661001
0,75543
-0,00018
0,00020
Elementy leżące na głównej przekątnej macierzy to wariancje ocen parametrów modelu.
Obliczając ich pierwiastki uzyskamy średnie błędy ocen parametrów (odchylenia standardowe od ocen
tych parametrów).
$
$
2
σ
=
σ
=
0 00020
,
= ±
0 01414
,
α
α
0
0
$
$
2
σ
=
σ
=
0 00020
,
= ±
0 01414
,
α
α
1
1
Po oszacowaniu tych średnich błędów możemy zapisać model następująco:
ˆ
Y
=
0,063314
+
0,17526
⋅
X
t
(
)
(
)
±
0,01414
±
0,01414
1.5
OCENA ISTOTNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA AUTOKORELACJI
1.5.1
TEST DURBINA-WATSONA
Aby ocenić istotność autokorelacji składnika losowego I-ego rzędu posłużymy się testem Durbina
- Watsona. Wymagane jest, aby obliczyć wartość statystyki testowej DW dla naszego modelu.
Korzystamy ze wzoru:
n
(
)
∑
2
ˆ
ˆ
ε
−
ε
t
t
−
1
DW
=
t
=
2
n
∑
ˆ
2
ε
t
t
=
1
W pierwszej kolejności musimy obliczyć reszty modelu, do czego wykorzystamy poniższą tabelę.
$
y
t
(
)
2
Okres
y
t
ε
ˆ
=
ˆ
−
ε
ˆ
ε
2
ˆ
ˆ
ε
−
t
ε
t
1
t
−
1
ˆ
=
y
−
y
t
t
0,1
0,12466
-0,02466
-
-
0,00061
1
0,15
0,14218
0,00782
-0,02466
0,00105
0,00006
2
3
0,18
0,16847
0,01153
0,00782
0,00001
0,00013
4
0,24
0,22981
0,01019
0,01153
0,00000
0,00010
0,28
0,27363
0,00637
0,01019
0,00001
0,00004
5
6
0,35
0,36126
-0,01126
0,00637
0,00031
0,00013
∑
0,00140
0,00107
5
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
[ Pobierz całość w formacie PDF ]