Model odkszt, Politechnika WIP, Semestr II, MAKON, MAKON (klhjfgsda)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
© Krzysztof Wierzbanowski
7. Modele odkształcenia plastycznego polikryształu
7.1. Mechanizmy odkształcenia plastycznego
O ile odkształcenie spręŜyste ciała polega na odwracalnym przemieszczeniu atomów z
ich pozycji równowagowych pod wpływem przyłoŜonych sił, to wywołanie
odkształcenia plastycznego wymaga uruchomienia zjawiska poślizgu
krystalograficznego lub (oraz) bliźniakowania mechanicznego. Oba wspomniane
mechanizmy są nieodwracalne, tzn. po zaniknięciu sił zewnętrznych pozostaje trwałe
odkształcenie materiału. Zarówno poślizg jak i bliźniakowanie polegają na ścinającym
ruchu jednej części kryształu (lub krystalitu) względem drugiej.
Zjawisko poślizgu przedstawiono schematycznie na Rys. 7.1. Bloki kryształu
przemieszczają się względem siebie; ruch ten odbywa się na płaszczyźnie poślizgu
(hkl) i w kierunku na niej leŜącym, czyli w kierunku poślizgu [uvw]. Definiuje się
pojęcie systemu poślizgu [uvw](hkl). W krysztale istnieje na ogół pewna ilość
symetrycznie równowaŜnych systemów poślizgu; tworzą one rodzinę systemów
<uvw>{hkl}. Poślizg moŜliwy jest dzięki ruchowi ogromnej ilości dyslokacji
(krawędziowych i śrubowych) w systemie poślizgu. Dyslokacje są „smarem”
umoŜliwiającym poślizg. Ruch dyslokacji, a zatem i poślizg zachodzą w stosunkowo
wąskim obszarze materiału (zw. pasmem poślizgu); moŜna natomiast powiedzieć, Ŝe
przemieszczane bloki kryształu są „nieaktywne”. Poglądowy Rys. 7.1 porównać
moŜna ze zdjęciem z mikroskopu elektronowego, przedstawiającym odkształcane
ziarno polikryształu – Rys. 7.2. Widać na nim zajście poślizgu na dwóch róŜnych
płaszczyznach poślizgu.
Bliźniakowanie mechaniczne (tzn. pod wpływem przyłoŜonej siły) polega na
ścinającym ruchu płaszczyzn atomowych, co prowadzi do powstania obszaru o
orientacji sieci będącej zwierciadlanym odbiciem orientacji sieci kryształu
pierwotnego – Rys. 7.3. Obszar ten nazywamy bliźniakiem. ZauwaŜmy, Ŝe podczas
jego powstawania, wszystkie kolejne warstwy atomowe bliźniaka przemieszczone
zostały
(odkształcenie
typu ścinania)
względem
sąsiednich.
Nie
ma
tutaj
„nieaktywnych” bloków materiału, dlatego teŜ odkształcenie ścinające
g
jest duŜe w
porównaniu z poślizgiem.
Poprzez superpozycję odkształceń ścinających (przez poślizg lub bliźniakowanie) w
róŜnych systemach ścinania (poślizgu lub bliźniakowania), uzyskać moŜna na ogół
dowolne odkształcenie, pod warunkiem, Ŝe w materiale aktywnych jest co najmniej
pięć takich niezaleŜnych systemów. Pamiętać takŜe trzeba, Ŝe odkształceniu przez
poślizg lub bliźniakowanie towarzyszy obrót (rotacja) sieci kryształu lub krystalitu
(por. Rys. 7.6)
1
Rys 7.1
Schematyczne przedstawienie zjawiska po
ś
lizgu w monokrysztale. „Nieaktywne”
bloki monokryształu o szeroko
ś
ci H przemieszczane s
ą
ruchem
ś
cinaj
ą
cym wzgl
ę
dem
siebie po płaszczy
ź
nie po
ś
lizgu (na tym rysunku poziomej) wzdłu
Ŝ
le
Ŝą
cego w niej
kierunku po
ś
lizgu (tak
Ŝ
e tutaj poziomego). Obszar o szeroko
ś
ci h, gdzie intensywnie
zachodzi po
ś
lizg na równoległych do siebie płaszczyznach po
ś
lizgu – to
pasmo
po
ś
lizgu
. W pa
ś
mie po
ś
lizgu g
ę
sto
ść
dyslokacji jest o kilka rz
ę
dów wielko
ś
ci wy
Ŝ
sza
ni
Ŝ
w nieaktywnych blokach monokryształu.
Rys 7.2
Zdj
ę
cie z mikroskopu elektronowego ilustruj
ą
ce zjawisko po
ś
lizgu – porównaj z
poprzednim rysunkiem. Przygl
ą
daj
ą
c si
ę
dokładniej wida
ć
ś
lady równoczesnego
po
ś
lizgu tak
Ŝ
e na innej płaszczy
ź
nie.
bliźniak
płaszczyzn
a
habitus
kryształ macierzysty
kryształ macierzysty
Rys 7.3
Bli
ź
niak powstaje z kryształu macierzystego przez
ś
cinaj
ą
cy ruch kolejnych warstw
atomów wzgl
ę
dem siebie. Granica pomi
ę
dzy tymi dwoma obszarami to płaszczyzna
habitus. Analogicznie jak w po
ś
lizgu, definiujemy tutaj kierunek i płaszczyzn
ę
bli
ź
niakowania (ta ostatnia równoległa jest do płaszczyzny habitus).
2
Spośród dwóch wymienionych mechanizmów odkształcenia plastycznego, na ogół
dominujące znaczenie ma poślizg. Bliźniakowanie pojawia się najczęściej wtedy, gdy
w materiale występuje niewystarczająca liczba niezaleŜnych systemów poślizgu, aby
zrealizować wymuszone makroskopowe odkształcenie. Taka sytuacja ma np. miejsce
w metalach o sieci heksagonalnej. Natomiast, opisując odkształcenie plastyczne metali
o sieci regularnej, wystarczy w przewaŜającej większości przypadków ograniczyć się
do poślizgu krystalograficznego.
7.2. Model odkształcenia materiału polikrystalicznego
Obecnie znamy wystarczająco dobrze mechanizmy odkształcenia spręŜystego (prawo
Hooke’a w postaci tensorowej) i plastycznego (poślizg, bliźniakowanie) na poziomie
krystalograficznym. Z drugiej strony posiadamy dobry opis struktury polikryształu, np.
przez funkcję tekstury. Powstaje zatem moŜliwość tworzenia modeli odkształcenia
ciała w oparciu o informacje strukturalne z tych dwóch poziomów organizacji materii
(kryształ, polikryształ). Modele takie powinny opisywać w sposób dostatecznie ogólny
odpowiedź materiału polikrystalicznego (odkształcenie spręŜyste E
ij
e
i plastyczne E
ij
p
)
na przyłoŜone siły zewnętrzne (wyraŜone tensorem
S
ij
). A zatem, chcielibyśmy
wyliczać całkowite odkształcenie materiału E
ij
= E
ij
e
+ E
ij
p
jako funkcję przyłoŜonego
tensora sił zewnętrznych
S
ij
, znając charakterystykę materiału. Ta ostatnia to: struktura
krystalograficzna, początkowa tekstura krystalograficzna, stałe elastyczne, napręŜenia
krytyczne poślizgu, początkowe napręŜenia wewnętrzne itp.
Podstawowe pytanie, na które trzeba odpowiedzieć, rozpoczynając konstrukcję
jakiegokolwiek modelu odkształcenia polikryształu, brzmi: jaka jest zaleŜność
pomiędzy wielkościami makroskopowymi, charakteryzującymi próbkę (S
ij
, E
ij
), a
analogicznymi wielkościami „widzianymi” przez dane ziarno polikryształu (
e
ij
) –
por. Rys.7.4. Nie moŜna jednoznacznie i ściśle rozwiązać tego problemu, dlatego teŜ
s
ij
,
Rys 7.4.
Do próbki przyło
Ŝ
ony jest makroskopowy stan napr
ęŜ
e
ń
S
ij
; ziarno „widzi”
lokalny stan napr
ęŜ
e
ń
s
ij
. Podobnie, odkształcenie próbki wynosi E
ij
, za
ś
lokalne
odkształcenie ziarna to
e
ij
.
uŜywamy modeli odkształcenia polikryształu. Istnieje cała ich gama, lecz istotę
większości z nich moŜna wyrazić następującym równaniem:
3
(7.1)
·
·
·
·
s
=
S
+
L
(
E
-
e
)
ij
ij
kl
kl
ijkl
gdzie L
ijkl
jest tensorem oddziaływania, zaś kropka symbolizuje pochodną czasową;
ponadto uŜyto tu konwencji sumowania po powtarzających się wskaźnikach.
Wyliczenie tensora L
ijkl
wymaga uŜycia pewnych załoŜeń upraszczających
rzeczywistość lub modeli. W ostatnich latach uŜywa się szeroko tzw. modeli
samouzgodnionych (Lipiński, Berveiller, 1989; Molinari, Canova, Ahzi, 1987) .
Okazuje się jednak, Ŝe w wielu przypadkach wystarczająco dobry opis rzeczywistości
daje załoŜenie izotropowego oddziaływania ziarna z otoczeniem. W takim przypadku
tensor L
ijkl
zastąpiony zostaje wielkością skalarną L, zaś odkształcenie całkowite –
odkształceniem plastycznym, i prawo oddziaływania przyjmuje postać:
(7.2)
p
ij
p
ij
·
·
·
·
s
=
S
+
L
(
E
-
e
)
ij
ij
lub równowaŜną:
(7.3)
p
p
ij
·
·
·
·
s
-
S
=
-
L
(
e
-
E
)
ij
ij
ij
Wygodna w uŜyciu jest scałkowana postać Równ. 7.2 (uzyskana przy załoŜeniu, Ŝe
występujące w nim tensory mają zerowe wartości początkowe, tzn. dla t=0):
(7.4)
s
=
S
+
L
(
E
p
ij
-
e
p
ij
)
ij
ij
Taka właśnie postać prawa oddziaływania uŜywana jest w niektórych obliczeniach.
Okazuje się, Ŝe wiele ze znanych „podstawowych” modeli sprowadza się do Równ.
7.2 (lub 7.3) jeśli za L przyjmie się odpowiednie wartości, i tak:
a) L=0 prowadzi do tzw.
modelu statycznego
. W modelu tym zakłada się brak
jakichkolwiek oddziaływań między ziarnami i w kaŜdym punkcie próbki ziarna
·
·
„widzą” jednorodny stan napręŜeń:
s
=
S
oraz
s
=
S
,
ij
ij
ij
ij
b) L
prowadzi do modelu Taylora (Taylor, 1938). Podstawowym załoŜeniem
modelu jest jednorodność odkształcenia plastycznego w całej próbce:
®¥
e
p
ij
=
E
p
ij
oraz
·
·
·
·
·
·
s
-
S
ij
ij
, to
L®¥,
p
ij
p
ij
; zauwaŜmy, Ŝe z Równ. 7.2:
, a zatem jeśli
s
¹
S
e
=
E
L
=
ij
ij
pl
ij
pl
ij
·
·
E
-
e
c) L=
jest modułem sztywności) prowadzi do modelu oddziaływania czysto
spręŜystego (Kröner, 1961),
d) L=2
m
(
m
m
prowadzi do modelu Lina (1957), którego podstawowym załoŜeniem jest:
p
ij
(ponadto zakłada się takŜe izotropową spręŜystość oraz zerową
dylatację dla odkształcenia plastycznego ),
e
ij
p
ij
e
ij
E
+
E
=
e
+
e
4
e) L=
prowadzi do opisu zgodnego z doświadczeniem. Jest to model izotropowy z
oddziaływaniem spręŜysto-plastycznym; Berveiller, Zaoui (1979), Wierzbanowski
(1987, 1992). Parametr a zwany jest
współczynnikiem akomodacji spr
ęŜ
ysto-
plastycznej
; zgodne z doświadczeniem wartości a leŜą w przedziale 0.1 – 0.01.
Współczynnik ten uwzględnia częściowe „dopasowanie” kształtu ziarna do
otaczającego materiału w drodze dodatkowego, lokalnego odkształcenia plastycznego
w obszarze granic ziarna.
am
Omówimy teraz przebieg obliczeń modelu odkształcenia spręŜysto-
plastycznego polikryształu. Wynikiem tych obliczeń jest odkształcenie oraz stan
napręŜeń ziaren i całej próbki jak równieŜ rozkład orientacji sieci krystalograficznej
ziaren, czyli tekstura krystalograficzna. Zbierzmy podstawowe fakty, które muszą być
uwzględnione w modelu.
Podstawowe fakty:
* Elementarnym aktem odkształcenia plastycznego jest poślizg krystalograficzny.
Zachodzi on na płaszczyźnie krystalograficznej (hkl) i w kierunku w niej leŜącym
[uvw]; płaszczyznę poślizgu charakteryzujemy krócej przez wersor
n
do niej
prostopadły, zaś kierunek poślizgu przez wersor
m
. Przydatne jest wprowadzenie
układu odniesienia związanego z poślizgiem:
x
1
p
=
m
,
x
3
p
=n
(Rys.7.5). W układzie tym
jedyna składowa napręŜeń, która jest istotna dla zajścia poślizgu to:
. Podobnie,
tensor gradientu przemieszczenia, który charakteryzuje elementarny akt poślizgu,
zawiera jedną tylko niezerową składową:
P
13
t =
s
.
(W prezentowanym modelu pomijamy odkształcenie spręŜyste, gdyŜ ma ona znikomą
wartość w porównaniu z odkształceniem plastycznym; nie pomijamy natomiast
spręŜysto-plastycznego charakteru oddziaływania ziarna z otoczeniem).
D
=
D
e
13
n
(x
3
P
)
m
(x
1
P
)
Rys. 7.5.
Elementarny akt po
ś
lizgu i zwi
ą
zany z nim układ odniesienia (P). Pierwsz
ą
o
ś
układu P wyznacza wektor
m
, za
ś
trzeci
ą
wektor
n
.
* Warunkiem zajścia poślizgu jest przekroczenie przez napręŜenie ścinające
P
13
wartości krytycznej
kr
, czyli:
(jest to prawo Schmidta),
t =
s
t
t ³
t
kr
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]