Model liniowy z dwiema zmiennymi objaśniającymi, Sopocka Szkoła Wyższa, Zarządzanie finansami, Ekonometria
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
1
1.
SZACOWANIE
MODELU
LINIOWEGO
Z
DWIEMA
ZMIENNYMI OBJAŚNIAJĄCYMI
1.1
DANE DO ZADANIA
Oszacować KMNK parametry następującego modelu:
y
=
b
+
b
x
+
b
x
+
ε
t
0
1
1
t
2
2
t
t
gdzie:
y – podaż pieniądza M2 [mld zł],
1
– stopa redyskontowa banku centralnego,
2
– Produkt Krajowy Brutto [mld zł].
Ponadto:
1.
Zinterpretuj wpływ zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą.
2.
Oblicz miary dopasowania modelu i zinterpretuj je.
3.
Oszacuj średnie błędy ocen parametrów modelu.
4.
Oceń istotność zmiennych objaśniających i wykonaj estymację przedziałową parametrów
strukturalnych modelu.
5.
Oceń istotność autokorelacji składnika losowego pierwszego rzędu testem DW.
Dane do zadania przedstawia poniższa tabela.
okres
y
t
x
1t
x
2t
1
23
9,5
4,5
2
25
9,25
5,1
3
27
9,25
5,7
4
28
8,75
5,8
5
32
8
6,1
6
35
7,25
7
7
40
6
8,4
1
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
2
1.2
SZACOWANIE PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU
Estymator KMNK dla potrzeb naszego zadania zapiszemy w postaci:
(
)
ˆ
−
1
b
=
X
T
X
X
T
y
Konstruując macierz X
T
X zauważmy, że w modelu występują trzy parametry, co determinuje
wymiary tej macierzy. Posługując się schematem konstrukcyjnym tej macierzy zapiszemy, że:
∑
∑
n
x
x
1
t
2
t
∑
∑
∑
X
T
X
=
x
x
2
1
x
⋅
x
1
t
t
1
t
2
t
∑
∑
∑
x
x
⋅
x
x
2
2
2
t
1
t
2
t
t
( )
3
×
3
Natomiast macierz X
T
y przyjmie postać:
∑
y
t
∑
T
X
y
=
y
x
t
1
t
∑
y
x
t
2
t
(
3
×
1
Posługując się poniższa tabelą wyznaczymy wielkości występujące w macierzach:
x
1t
2
x
2t
2
okres
y
t
x
1t
x
2t
x
1t
x
2t
y
t
x
1t
y
t
x
2t
1
23
9,5
4,5
42,75
218,5
103,5
90,25
20,25
2
25
9,25
5,1
47,175
231,25
127,5
85,5625
26,01
3
27
9,25
5,7
52,725
249,75
153,9
85,5625
32,49
4
28
8,75
5,8
50,75
245
162,4
76,5625
33,64
5
32
8
6,1
48,8
256
195,2
64
37,21
6
35
7,25
7
50,75
253,75
245
52,5625
49
7
40
6
8,4
50,4
240
336
36
70,56
suma
210
58
42,6
343,35
1694,25
1323,5
490,5
269,16
Możemy zatem zapisać interesujące nas macierze następująco:
210
7
58
42
,
6
X
T
y
=
1694
,
25
X
T
(
X
)
=
58
490
,
343
,
35
42
,
343
,
35
269
,
16
1323
,
2
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
3
Macierz X
T
X należy odwrócić, zgodnie z formułą:
T
D
(
X
X
)
T
−
1
=
(
X
X
)
T
X
X
Dopełnienia algebraiczne elementów macierzy X
T
X, które wchodzą w skład macierzy (X
T
X)
D
obliczamy następująco:
ij
+
C
≡−
()
1
⋅
M
ij
ij
gdzie:
- dopełnienie algebraiczne elementu macierzy X
T
X dla i-tego wiersza i j-tej kolumny,
|C
ij
|
|M
ij
|
- minor elementu dla i-tego wiersza i j-tej kolumny,
i
- numer wiersza,
j
- numer kolumny.
Stąd np. dla elementu 7 (wiersz 1, kolumna 1) z macierzy (X
T
X) dopełnienie jest następujące:
490
,
343
,
35
C
≡
(
−
1
1
+
1
⋅
=
14133
,
7575
11
343
,
35
269
,
16
Podobnie obliczamy dopełnienia dla pozostałych elementów i otrzymujemy macierz:
14133
,
7575
−
984
,
57
−
981
T
X
D
(
X
)
=
−
984
,
57
69
,
36
67
,
35
−
981
67
,
35
69
,
Następnie obliczamy wyznacznik macierzy X
T
X:
X
T
X
=
40
,
6425
Stąd ostatecznie otrzymujemy macierz odwrotną:
3
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
4
347
,
75807
−
24
,
22513
−
24
,
13729
(
X
T
X
)
−
1
=
−
24
,
22513
1
70659
1
65713
−
24
,
13729
1
65713
1
71003
Możemy zatem obliczyć oceny parametrów strukturalnych modelu:
ˆ
347
,
75807
−
24
,
22513
−
24
,
13729
210
40
,
05296
b
0
ˆ
ˆ
T
−
1
T
b
=
(
X
X
)
X
y
=
−
24
,
22513
1
70659
1
65713
⋅
1694
,
25
=
−
2
67688
←
b
1
ˆ
−
24
,
13729
1
65713
1
71003
1323
,
1
99268
b
2
Mając szacunki punktowe parametrów zapiszemy model w postaci teoretycznej:
ˆ
y
=
40
,
05296
−
2
67688
⋅
x
+
1
99268
⋅
x
t
1
t
2
t
1.3
INTERPRETACJA MODELU
Na podstawie przedstawionego modelu możemy dokonać oceny wpływu zmiennych
objaśniających (stopy dyskontowej oraz PKB) na wielkość podaży pieniądza:
•
wzrost stopy redyskontowej o 1 punkt procentowy powodował w badanym okresie spadek
podaży pieniądza średnio o 2,677 mld złotych (spadek stopy dyskontowej o 1 punkt
procentowy powodował w badanym okresie wzrost podaży pieniądza średnio o 2,677 mld
złotych), przy założeniu stałości zmiennej x
2
czyli PKB
•
wzrost PKB o 1 mld złotych powodował w badanym okresie wzrost podaży pieniądza średnio
o 1,993 mld złotych (spadek PKB o 1 mld złotych powodował w badanym okresie spadek
podaży pieniądza średnio o 1,993 mld ), przy założeniu stałości x
1
czyli stopy redyskontowej
1.4
REPREZENTACJA GRAFICZNA UZYSKANYCH WYNIKÓW
Jeżeli obliczymy na podstawie powyższego modelu teoretyczne wartości zmiennej y to
ˆ
, jak przedstawiono w tabeli:
otrzymamy wartości
t
4
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
5
ˆ
okres
y
t
t
1
23
23,58968
25
25,45451
2
3
27
26,65012
4
28
28,18783
5
32
30,79329
6
35
34,59436
7
40
40,73021
Na podstawie tych danych możemy wykonać wykres przedstawiający dopasowanie danych
teoretycznych zmiennej objaśnianej do danych rzeczywistych.
45
y
40
y teoretyczne
35
30
25
20
1
2
3
4
5
6
7
okres
Jak widać dopasowanie punktów teoretycznych do rzeczywistych jest dość dobre. Aby ocenić
dopasowanie bardziej precyzyjnie obliczamy statystyczne miary dopasowania:
1.5
MIARY DOPASOWANIA
1. Współczynnik zbieżności
ˆ
∑
y
2
−
(
X
T
y
)
T
b
t
2
ϕ
=
∑
(
y
−
y
)
2
t
Dane do powyższej formuły obliczamy w tabeli (średnia arytmetyczna
y
=
30
):
5
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
[ Pobierz całość w formacie PDF ]